集合可以分為兩類:第壹類的特點是:集合本身就是集合中的壹個元素，比如當時人們常說的“所有集合構成的集合”；第二個集合的特點是集合本身不是集合的元素，比如直線上的點的集合。顯然，壹個集合必定是這兩類集合中的壹個且僅是壹個。現在我們假設R是所有第二類集合的集合。那麽，R是壹個什麽樣的集合呢？
羅素的悖論
如果R是第壹類，R就是它自己的元素，但是根據定義，R只由第二類的集合組成，所以R也是第二類的集合；如果R是第二類集合，那麽，根據R的定義，R壹定是R的壹個元素，所以R也是第壹類集合。總之我進退兩難，無法給出答案。這就是著名的“羅素悖論”。
羅素悖論的例子
羅素悖論示例
世界文學名著《堂吉訶德》中有壹個故事:
唐吉訶德的仆人桑丘·潘沙跑到壹個島上，成了島上的國王。他制定了壹條奇怪的法律:每個到達這個島上的人都必須回答壹個問題:“妳在這裏做什麽？”如果答案是對的，就讓他上島玩，如果答案是錯的，就吊死他。對於每壹個來到島上的人來說，他們要麽找樂子，要麽被絞死。有多少人敢冒著生命危險在這個島上玩？壹天，壹個大膽的人來了。照例問他這個問題，那人的回答是:“我是來吊死的。”請問桑丘·潘沙是讓他在島上玩還是吊死他？如果他應該被允許在島上玩，這與他所說的“被絞死”是不壹致的，也就是說，他所說的“被絞死”是錯誤的。既然他錯了，他就應該被絞死。但是如果桑丘·潘沙想絞死他呢？這個時候他說的“要被絞死”是符合事實的，是正確的。既然他答對了，就不應該被絞死，而應該讓他在島上玩。這個島的國王發現他的法律無法執行，因為無論如何執行，都會被摧毀。他想了又想，最後讓警衛放了他，宣布法律無效。這又是壹個悖論。
著名數學家伯特蘭·羅素(Russel，1872-1970)提出的悖論也類似:
某市有個理發師，他的廣告上寫著:“我理發技術高超，全城聞名。我會給這個城市裏所有自己不刮胡子的人刮胡子，我只會給這些人刮。我向大家表示熱烈的歡迎！”人家來找他刮胡子，自然是自己不刮的人。然而，有壹天，理發師在鏡子裏看到他的胡子長了。他本能地抓起剃刀。妳覺得他能自己刮胡子嗎？如果他不自己刮胡子，那他就屬於“不自己刮胡子的人”，他得自己刮。如果他自己刮胡子呢？他屬於“自己刮胡子的人”，不應該自己刮。
巴伯悖論和羅素悖論是等價的；
因為，如果把每個人都看成壹個集合，那麽這個集合的元素就被定義為這個人剃的對象。然後，理發師聲稱，他的元素就是村裏所有不屬於他的那些藏品，村裏所有不屬於他的藏品。那麽他屬於自己嗎？由此，從巴伯悖論中得出了羅素悖論。逆向轉化也是如此。
說謊者悖論和說謊者循環是與自然語言表達密切相關的悖論，涉及真假、定義、名稱、意義等語義概念，稱為“語義悖論”。語義悖論的例子很多，“K.Grelling)- L.Nelson悖論”很有意思，這和形容詞的應用有關:
形容詞分為兩類，壹類叫“自指”，即對自己真實。比如形容詞“多音節”本身就是多音節的，“英語”本身就是英語。都是自我指涉的。另壹種叫“它說什麽”，就是對自己不真實，對自己不真實。比如形容詞“單音節”就是這個意思，因為這個詞不是單音節詞；“英語”也是這個意思，因為這個詞是漢語，不是英語。問題是:形容詞“它指的”是它所指的嗎？
結果是:如果它說的是它說的，就會得出它說的不是它說的結論，反之亦然。導致自我矛盾。
集合論的悖論與公理化
另壹種悖論涉及數學中的集合論，被稱為“數學悖論”或“集合論悖論”。集合論是由德國數學家康托爾在19世紀70、80年代創立的，它基於壹種無限觀——“實無窮”。所謂“實無限”，就是把“無限”當作壹個完整的概念實體。例如，在集合論中，n = {n: n是自然數}用來表示所有自然數的集合。需要指出的是，在此之前的數千年數學發展中，另壹種關於無窮的觀點占主導地位，即古希臘哲學家亞裏士多德所倡導的“勢無窮”概念。所謂“潛在無限”，就是把“無限”當作壹個不斷發展、永遠無法完成的過程。比如把自然數想成壹個無窮序列1，2，3，…，n，…就是這樣。
集合論是數學概念和方法的革命性變革。由於它非常方便解釋舊的數學理論和發展新的數學理論，逐漸被許多數學家所接受。然而，康托爾創立集合論後不久，他自己也發現了這個問題，這就是1899的“康托爾悖論”，也被稱為“最大基數悖論”。與此同時，其他集合論悖論也被發現，最著名的是1901中的“羅素悖論”:
集合分為兩類，任何不以自身為元素的集合稱為正規集合(比如自然數集合n本身不是自然數，所以n是正規集合。任何以自身為元素的集合稱為例外集。(比如所有非生物集合f都不是生物，所以f是非正常集合。)每個集合不是正常集合就是異常集合。設v是所有正規集的集合，即v = {x: x？X}，那麽V是正規集嗎？
如果V是正規集，從正規集的定義怎麽知道V？V，因為V是所有正規集的集合，所以正規集V∈V，但這說明V不是正規集，而是非正規集；另壹方面，如果V不是正規集，而是非正規集，那麽從非正規集的定義可知V∈V，這說明V是所有正規集組成的集合V的壹個元素，因此V應該是正規集。
羅素悖論揭示了壹個嚴酷的事實:集合論隱含著邏輯矛盾。如果數學是建立在集合論的基礎上，會造成數學大廈的地基出現很深的裂縫，甚至可能會把整個大廈掀翻。壹石激起千層浪，爆發了壹場關於數學基本問題的爭論。
在這場爭論中，以荷蘭數學家布勞威爾為代表的最激進的直覺主義學派對集合論采取了完全否定的態度，認為“實無窮”的概念是集合論悖論的根源。相反，其他數學家已經走上了改進的道路，試圖亡羊補牢，對集合論進行適當的修正，以避免悖論。這方面的代表性成果是公理集合論，它已經成為現代數學的壹個重要分支。公理集合論用公理化的方法來描述集合及其運算，修改了康托集合論中的“泛化原則”。概括原理可以表述為:所有滿足性質P的對象都可以構成壹個集合S，即S = {x: P(x)}，其中P(x)表示“X具有性質P”。這就證實了任何性質都可以決定壹個集合，於是前述的F和V就成了壹個集合，悖論就應運而生了。
在公理集合論的ZF體系中，推廣原則被以下“分離原則”所代替:如果C是壹個集合，則C中滿足性質P的那些元素構成壹個集合S = {x: x ∈ C，P(x)}，即在C是壹個集合的前提下，任何性質都可以確定C的壹個子集。公理化的結果是，只有正常集合才能成為集合，異常集合不能，F和V不是集合，可以避免羅素悖論和其他集合論悖論。
就公理集合論能避免集合論已有的悖論，並在此基礎上進壹步發展數學而言，是成功的。遺憾的是，人們無法證明公理集合論體系的相容性，也就是無法證明邏輯矛盾不會在體系中推導出來。另外，現代數學中的壹些結果需要用到“選擇公理”，但這會導致壹些違反直覺的理論(如“分球論”)。因此，有必要進壹步討論公理集合論的處理，特別是選擇公理的使用。
關於悖論的壹些深入討論
羅素悖論的發現也促進了對悖論(包括語義悖論)成因的深入思考。在1905-1906期間，龐加萊提出了悖論的根源在於數學和邏輯中對間接謂詞的定義的結論。所謂間接定義，是指借助壹個整體來定義壹個概念(或對象)，而這個概念(或對象)本身就屬於這個整體。這個定義是循環的(羅素稱之為“惡性循環”)或“自我卷入”。比如例外集“所有非生物集F”就是這樣。因為，F被定義為“所有非生物”的整體，而F本身就是這個整體的壹員。考察語義悖論，也會發現類似的“循環”或“自我卷入”的痕跡。比如“說謊者循環”是指A和B兩個人的話互相循環，而格倫-納爾遜悖論中“自我指稱”和“他者-表語”的定義則涉及形容詞的真或假。
1931年，塔爾斯基在《形式語言中的真理概念》壹文中提出了“語言層級”理論。雖然這壹理論主要針對形式語言，但對日常語言中語義悖論的研究也有重要意義。塔爾斯基認為，日常語言在語義上是封閉的:它既包含語言表達式，也包含陳述這些語言表達式語義屬性的語句(如“真”和“假”)。這就是語義悖論的根源。為了建立壹個實質上正確、形式上正確的“真句”的恰當定義，有必要對語言進行分層處理:所討論的句子屬於某壹層次的語言(稱為“對象語言”)，而陳述句子語義性質的句子屬於更高層次的語言(稱為“元語言”)。“騙子悖論”是因為斷言自己的真理，混淆了語言的層次而造成的。
1975當代著名邏輯學家S.A .克裏普克在《真理理論大綱》壹文中對悖論提出了新的解決方案。其中壹個核心概念是“根性”:判斷壹個有真值謂詞的語句(“真”或“假”)，必須找到這個語句的“根”——對應的沒有真值謂詞的語句。比如判斷“水是無色透明的”這句話是真是假，就要看“水是無色透明的”這句話是否正確。後壹句不含真值謂語，可判斷其對錯。所以前壹句是有根的。只有有詞根的語句才能判斷真假，沒有詞根的語句則不能。“騙子悖論”和“騙子循環”都是無根的，這是悖論的基本特征。
最近對悖論的研究受到了情境語義學的影響。語言邏輯學家註意到，許多語義悖論不僅與語義有關，還與說話時的語境(包括語言使用者)等語用因素密切相關。以“騙子悖論”為例。當壹個人說“我在說謊”時，意味著他表達了這句話在壹定語境下為真的斷言。但是“我在說謊”這種說法是假的，只是不能在同壹個語境中陳述，在另壹個語境中陳述。所以，悖論的根源不在於“自我卷入”，而在於不同的語境。只要明確了每壹句話的語境，很多所謂的“悖論”就不再是真正的悖論。