現代人對先天卦導序的討論，盡量局限在哲學的範圍內。從上面的討論可以看出，先天易卦的符號首先是數的符號，然後在此基礎上討論包括哲學在內的其他問題。先天易簽的二進制數結構，對於明清學者來說，是壹個簡單的事實。他們分歧的焦點在於強調二進制數結構的先天易模型能否規範壹切。作為邵雍數學學派的主要反對者，王夫之在評論邵雍通過加倍表現先天易時說。
教孩子認識乘法口訣是可以的，但是和天人合壹的道理不可取。如果加壹幅畫，可以翻倍。那為什麽不加到七幅畫上，乘以壹百二十八，無窮無盡呢？為什麽不呢？我不懂易經，但說四象會引八卦，會引吉兇，會引大業。起初，我們不應該損害伊稀，而是獲得四個和五個。這就是天地規律的本質，事物總是在變化的。不能算作障礙的積累，但有小伎倆，放而不收，以混淆天地之紀。？
邵雍、蔡錫山之道，不應僅以數學命名。從壹開始，世界就在變壞；最後，路被隱藏了。(《續春秋左傳伯夷》卷二)
在他看來，先天易只是壹個醫生“壹分錢壹分貨”的計策，與大道無關，也正是因為過分強調二進制的數學特征，才失去了解釋大道的資格。？
二、王來從P系的角度論證二進制的優越性？
王來是清代乾嘉時期傑出的數學家，是我國古代著名的數學家。著有《橫齋算術》七卷、《橫齋遺書》九卷。他因不滿復古的守舊風氣而郁郁寡歡，英年早逝。？
當時的考據學者以漢代非正統為由全盤否定邵雍的數學學派，但從王來著名的數學著作《神糧算經》中可以看出，他對邵雍的事物觀和先天的易變性情有獨鐘。？
《審量算經》全文不到1000字，分為六個部分:首義、綱、會氣、夫婦、惠檜，最後是審量算。人物極其簡練，其中原始人、李剛、惠檜各只有30多字。？
其中，原文寫道:
看事情到最後，愛情契約是與生俱來的，有很多不同的形象。能破的無非是兩個參考，但寫出來的是給新人看的。
本文為前言，說明本次計算的寫作目的。在當時觀物之學極其尷尬的局面下，“觀物從末，感先天”這四個字包含著超乎尋常的情感。？
《大綱》:
如果數字為10，將照常計算。上上下下，隨身攜帶。立法少實，即命為法，立法太實，盈為壹。大綱這樣的話，數字就靠它了。
這是算法總綱，講的是任意系統的乘除和整除規律。“齊輝篇”和“列偶篇”分別是研究奇數和偶數系統的乘除法和整除法。？
《惠檜篇》是這部經典的總結:？
月神說，二是數的起源。將數字設置為參考值，2乘以1。站在二乘壹也不煩。它是建立在生數不被規律切割的基礎上的。
通過以上討論，得出二進制乘法的公式是最簡單的，只需要壹個公式，即壹乘壹等於壹，並強調了二進制和三進制的優越性，稱為“數的起源”，旨在闡述他“倚數而達天地”的數學理解。？
天津師範大學李教授對王來的數學著作進行了深入研究。他在《王來的數學理論概論》壹文的末尾，引用了兩個計算(吳文俊主編的《中國數學史論文集(二)》壹文)，指出:
在《算》壹書中，提出采用多種進位制的原則是“審法審數”，以使運算簡便，結果準確，可見王的計算觀之高。王給出了2≤p≤10時各種進位制下的乘除表，並深入探討了P制下的整除性，這在中國算術史上是前所未有的。20世紀40年代，隨著電子計算機的出現，對P元系統的研究也隨之發展起來。在電子計算機出現的100多年前，中國的數學家在P進制的運算和理論方面已經達到如此的熟練和深度，這確實是壹件值得驕傲的事情。
最後需要指出的是，這兩部作品都涉及到了《易經》。《易經》給了王什麽啟示？如何評價《易經》的影響？這是中國數學史研究中的壹個普遍問題。這個問題需要哲學史和數學史工作者的共同努力才能給出壹個現實的答案。此條省略。
雖然在上述論文中，作者刻意回避了二進制問題及相關評論，但從王來的原著中，我們不難看出二進制是《殘糧算經》的壹個核心，與邵雍的先天傾向有著千絲萬縷的聯系。？
第五節從鋼琴序數公理出發，論證了先天易是壹個完整的二進制系統。
邵雍數學學派發現並廣泛使用了二進制，不用多少筆墨就能解釋清楚。本文的主要目的是從序數公理出發，論證《哨子弦田義》是壹個完整的二進制序數系統。序數體系的建立是抽象數學的基礎。邵子賢天壹是第壹個有明確定義的序數體系，也就是第壹個抽象的數學體系。？
自然數的概念壹直作為數學中最明顯、最基本的概念使用。直到上世紀末，在數學公理化方法發展的影響下，才提出了“什麽是自然數”的問題。基於自然數的兩個功能層次，即表示數的概念和表示序的概念，19年底出現了著名的康托爾基數公理和鋼琴序數公理，從數理邏輯的角度定義了什麽是數，什麽是序數詞。？
眾所周知，數和序是顯而易見的概念。但是，從文明發展的角度來看，異同概念的出現是理性的起點，數的概念的出現是壹大進步，序的概念的出現是壹大進步。數(基數)和序(序數)的規範定義將極大地方便文明史的研究，有助於抽象數學本身的發展。？
基數就是數，這是最原始最直觀的數的概念。判斷基數概念的標準是，妳只需要具備壹壹對應的數的能力，不需要形成整體意識，也不需要比較的壹般概念。自然數的基數理論，即康托基數公理，是在集合和壹壹對應概念的基礎上定義的。因為定義中不能隱含順序的概念，所以用集合的概念來定義非常巧妙，但也相當尷尬。？
給定兩個集合A和B，如果有壹個規則F，對於A中的每壹個元素A，B在B中唯壹確定(即A在F下的像)，B中的任何壹個元素B都由A中的壹個對應元素A唯壹確定，則稱F是A到B的壹壹對應，有壹壹對應關系的兩個集合稱等價。我們取壹個集合A，把所有等價於A的集合放在壹起，做壹個集合的類W。W中所有集合的屬性稱為a的基數，簡而言之，類W本身稱為a的基數，集合的基數實際上就是集合中元素的個數。？
自然數的序數理論是由兩個基本概念定義的，第壹個和下壹個，以及四個公理。第壹種通常可以記為1，但沒有n0通用。所謂自然數(序數)是指集合n中滿足以下性質的元素:？
1)n0是n的壹個元素，它不是n中任何壹個元素的後繼，如果n的後繼用n+表示，那麽對於n中的任何壹個元素，n+不等於n0。(註:n0是無證明序列的指定起點)。
2)對於n中的任意元素n，只存在壹個後繼n+。
3)對於n中的任意兩個元素n和m，若n+=m+，則n = m .
4)n的子集m，如果它具有下列性質:
① n0屬於m；
②若任壹M屬於M，必有m+也屬於M；那麽M=N
皮亞諾公理指出，為了建立壹個序列概念，我們必須首先“首先”選擇壹個序列的起點，然後指定壹個序列運算“下壹個”或“後繼”。有了這兩個概念，我們就可以定義壹個數列，也就是序數。序數概念是現代數學的基本概念，具有廣泛的適用性。？
我們以排隊為例來說明皮亞諾公理。理論上，隊列可以無限長。其中壹個公理是，第壹個是絕對的，不能有任何人淩駕於“第壹個”之上。比如妳在排隊的時候，妳是第壹個，說明排隊的時候沒有人排在妳前面。？
公理2是隊列中的任何人下壹個必須有壹個，但只能有壹個，不能多。
公理3說:對於任何壹個人來說，如果他身後的位置的序號是已經知道的(確定的)，那麽他自己的序號也是確定的。？
公理4說:如果原隊列的第壹行排列成另壹行，第壹個“下壹個”和下壹個“下壹個”都依次跟隨，那麽新隊列相當於舊隊列。？
這樣定義的自然數稱為序數，以區別前者定義的基數，是專門針對“哪個數”的問題而定義的。基數從感性量的簡單同異比較開始，用於描述感性和形象量，而序數是基數的進壹步抽象，是思維進壹步發展的產物，用於描述理性和抽象的關系量。？
各種已知的古代數系基本都經歷了從基數到序數的過程。先是用來表示“幾個”，然後抽象出“哪壹個”的意思。但除了先天易，並沒有確定的序數體系。
從基本定義上區分表示順序的序數和表示數的基數，是數學中抽象發展的要求，也是抽象數概念產生的基礎。哨子線田義是壹個特殊定義的序數系統。為了描述方便，用y來表示先天易系。本文從皮亞諾的四個公理出發，論證了先天符合序數的定義是從序數的角度來定義的。？
序列的起點有明確的定義，很容易從詞幹(太極)演化而來，詞幹是序列的起點。
秩序有明確的定義，正如朱所說，“其秩序不限，但有明確的位置，故不必說”，“皆自然，自然排除”，“無所不準”，“智加助也”。也是壹個“不知其窮”的系統，也就是說，系統Y自然是按照數字排列的，也就是壹個壹個排列，元素之間的順序是固定的，元素的數量是無限的，那麽每個元素Y都必須有壹個固定的唯壹的後繼者Y？+。？
根據Y系統的特點，每個後繼y+前面都必須有壹個唯壹的固定元素Y。這是顯而易見的。？
設w是y的子集，即w中的所有元素都是y中的元素，
假設I: Ganyi (y0)是W中的壹個元素；
ii:w中的任意元素w，其後繼元素w+也是w中的元素。
w和y是等價的。
證明:從W是Y的子集這個前提出發，我們知道W中的每壹個元素都是Y中的壹個元素，不存在屬於W而不屬於Y的元素..？
從假設壹可知，Y序列的第壹個元素y0也是W中的壹個元素，Y不可能在Y中？在0前面
元素，而W中的元素都是Y中的元素，那麽W中的Y？0也是第壹個。
根據假設2，W中任意元素的後繼都是W中的元素，y0加1生成的元素都是W中的元素，而這就是Y的定義，所以Y是W的子集，另外W是Y的子集，所以W和Y是等價的。？
因為進位制是自然數本身的表示方式，先天易制Y是自然數的序數制，所以在內部結構中，任何大數都表示為奇數和偶數符號的疊加，比特值的不同用非零符號的相對位置的不同來表示。所以先天易系Y是二進制自然數系。為了擺脫數量、單位等具體特征的約束，從簡單序數的角度構造自然數序列很容易，是抽象數學的先行者，其意義將逐漸被人們所重視。？
第六節《周易》與二進制註釋？
近幾十年來，國內否定《周易》二進制的運動有兩個學術來源。壹篇是李約瑟《中國科學技術史》中的總結，另壹篇是英國E.J. Edton在上世紀80年代的短文。之所以稱之為運動，是因為大家似乎都在暗示對研究原著缺乏熱情，甚至是輕視。以下是關於這個問題的三個註意事項，以便為他們提供最好的壹切。？
壹、葛藍燕碰巧說？
從現代西方學術界來看，從認識二進制數開始，就與《周易》齊頭並進。西方第壹篇關於二進制的文章發表於1703年，是萊布尼茨在《皇家科學院記錄》中發表的。書名為《二進制算術解釋》，副標題為《只用0和1，並討論其用法和傅所用中國古代數字的意義》，是壹本介紹中國哲學的書。此後，《周易》和二進制作為東方文化的壹個特征，引起了西方學者的廣泛關註，他們對浩瀚的易圖進行了研究，並取得了許多有益的成果。直到上世紀二三十年代，幾乎沒有人懷疑或討論中國古代二元制的發明權。？
正如李約瑟所說，“如果是十幾年前，這個話題可能就到此為止了。但是，最近的發展表明，萊布尼茨的二進制算術遠不是歷史上的奇跡。”近幾十年來，由於電子技術的應用和發展，壹些西方學者越來越不能接受中國在古代發明了二進制的結論。於是，壹部量刑性質的著作，由漢學家葛先生給出，葛先生在不研究、不了解中國古代原始文獻的情況下，做出了激烈的判斷。他說，即使是六十四卦的順序與萊布尼茨二進制有壹點點相同基礎的觀點也應該被拋棄，因為“發明六十四卦的人只關心用長棍和短棍這兩個基本元素來形成所有可能的排列組合。壹旦這些形成，很明顯，幾個同等邏輯的安排也是可能的。事實上，其中兩個最終獲得了極大的重視，雖然其他安排並不難設計。把數學的意義歸於六十四卦的主要缺點是，沒有什麽比任何定量計算更遠離《易經》專家的思想了。”李約瑟指出，“葛藍燕已經充分論證了這壹點”。“至於通過陰陽交替來研究六十四卦“變化”的占蔔師，可以認為他們是在進行簡單的二進制算術運算，但他們這樣做的時候，肯定沒有意識到這壹點。我們必須要求任何發明，無論是數學的還是機械的，都應該被有意識地制造出來並可供使用。如果說《易經》占蔔師從未認識到二進制算術，也從未使用過它，那麽萊布尼茨和白晉的發現只具有以下意義，即邵雍《易經》詮釋中所展示的抽象序列系統恰好與二進制算術所包含的抽象序列系統相同。邵雍在《易經》六十四卦排列中偶然發現的、被萊布尼茨認識到的二進制算術，可以說早在被發現適用於現代人的大型計算機之前，就已經在非常真實的意義上被用來構建哺乳動物的神經系統了。”？
這裏之所以稱之為量刑而非研究，是因為作品本身更像是壹個武斷而措辭激烈的宣言而非研究，也是因為他對量刑對象邵雍學派最起碼常識的不了解，更像是西方傳統的宗教審判。科赫判決中涉及的簡單易學的常識性笑話不值得壹說。下面說說數學常識在寫作中的錯誤。？
葛的是搞不清什麽是排列，什麽是組合；對什麽是二進制只有壹些感性的印象；當然，排列組合和序數的關系就更模糊了。排列是以序數(自然數)為基礎的抽象概念，即排列順序。其中，排列項本身就是序號的代表，在排列本身的意義上，就是序數，也就是自然數標記。可以完全用兩個基本符號表示的序列記數法系統是壹個二進制自然數，與這兩個基本符號的具體形式無關。無論是陰陽，長棍短棍，還是0和1，因為同構，都可以作為二進制基數的等價表示。
組合是在整理概念的基礎上抽象思維能力的壹大步。就人類智力的進化而言，它要求更高層次的智力，這種智力必須建立在相對抽象的分析比較能力和壹定的整體觀念上。也就是說，序數的概念是排列行為的必然前提，組合的概念是排列基礎上的智力飛躍。都是遵循秩序觀念的理性活動，自然是有意識的。如果沒有秩序概念的意識，它們能被稱為排列和組合嗎？另外，數學只等於定量計算嗎？？
為了解釋先天易圖中的陰陽，有學者提出了壹個更荒誕的想象:“卦的線條不壹定代表占蔔用的長短卦，更多的是與中國自古以來必然使用的計算有關。因此，這些符號可能是通過使用以5為基礎的算術得出的，其中細線或虛線表示值為1的計算，而粗線或不間斷線表示值為5的計算。”這就是李越所說的“更有道理”的巴爾德的想法。不知道為什麽不從原著開始。看不懂，誰有資格編？這是壹部徹底否定中國老祖宗二三十年前發明的二進制的傑作，為葛的陰陽想出了壹條出路，這是邵子或朱原著所沒有的。於是判決結束了，意見統壹了。從萊布尼茨開始，西方人已經錯了幾百年了。“愚蠢”的中國古變器怎麽會和奇跡二進制聯系在壹起？？
巴爾德對易學壹無所知，這不是真的。他通過將二進制轉換成普通數字，從卦中“發現了各種各樣的魔方”。因為“從《易經》中得到的魔方是相當復雜的，很難讓人相信中國的變易學說在排列六十四卦的時候心裏有過任何這樣的想法”。這是李約瑟的觀點，當然也是巴爾德的觀點。？
以上引用的材料可見李約瑟對中國科技史上關於這個問題的爭論的總結。讓我們總結壹下以和為代表的學術界的壹致意見。
A.邵雍對《易經》的解讀表明，抽象的序列系統本身就是壹個二元系統。？
B.如果這種順序關系對他們來說是有意義的，也就是說，他們認識到兩個符號(即陰和陽)的組合可以用來表示順序，甚至已經用來表示順序，那麽他們已經發現了二進制系統，或者他們對對位值和零有了壹些了解；？
C.另壹方面，如果是偶然排列的，他們就找不到二進制，也就是不能用來說明他們對位值和零有所了解。？
D.壹致的意見是，它們是偶然排列的，無意用於排序，所以只是壹個抽象的秩序體系，與賴的不謀而合。？
可見，關鍵是實現或不實現這種抽象的秩序，即可以用兩種符號(即陰陽)的組合來表達秩序。答案是顯而易見的，因為這是先天易的特點。？
事實上，如果是“偶然”而不是他們所說的“有意”，那將是壹個極大的奇跡！我們先算壹下這個概率。？
“與賴數相合的抽象序列系統”指伏羲六十四卦的序列圖和方位圖。其實圖中* * *有三種，都符合二進制規律。每次誤排的概率大概是2/64！，也就是1/10左右？89?，遠低於不可能事件的概率要求。如果是“偶然”而非“有意”放電，三個序列是獨立事件，同時得到的概率大約是1/10？267?當然，這也是絕對不可能發生的事件。為了幫助形象地理解這個概率，這裏有壹個解釋。根據相對論和量子力學的要求，宇宙中靜止質量基本粒子總數的上限是10？80?宇宙約為15億(1.5×10？10?)年，壹年三千萬左右(3×10？7)秒，百年壽命約3×10？9秒，整個宇宙“壽命”約為5×10？17?秒可見，有些話說起來容易，其實沒那麽簡單。假設整個宇宙在從誕生到消亡的所有時間裏，都在按照葛藍燕的方法做無意識的排序活動，那就不可能為偶然說提供壹個概率上的保證。因此，先天性易圖只能是有意安排的結果，而不是偶然安排。事實上，大量的古代文獻已經雄辯地證實了這壹點。圖名為序列圖或序列圖，即已經直白的指出該圖是序列圖，用於排序，並說明是以“壹分為二，二分為二，四分為八……”的方式構造的既然是序列，圖中的符號系列就是序號。這種從概率角度論證的目的是為了說明，即使在沒有其他文獻的情況下，也不容易得出“巧合”的結論。此外，Gerhardt等人將人類智力的產物與自然存在混為壹談，提出偷竊的概念是相當不恰當的。按照他們的邏輯，早在牛頓發現萬有引力定律的15億年前，萬有引力定律“可以說是在非常真實的意義上”，“已經被用來構造”宇宙中的物質體系。？
2.埃爾頓用分離表解釋先天圖譜嗎？
還有壹個英國的E.J. Edton為80年代邵雍的《先天圖》壹代設計了壹個非常有創意又莫名其妙的明暗矩形投影分離表。據說用這個投影分離表可以還原先天的畫面。這位想象力豐富的學者隨後斷言，雖然白晉送給萊布尼茨的木刻伏羲六卦帕累托圖“確實表現出與某種數系的相似性”，但這是“邵雍”。伏羲帕累托圖的六爻構成，分別區分明矩形和暗矩形，並沒有提醒人們它與容易理解的數字系統的聯系。“當時，權威學術刊物《科學史》的翻譯系列立即被翻譯引進，成為十幾年的學術大棒。壹些權威人士甚至認為，關於周易和二進制的討論應該被視為國恥。E.J. Edton的結論成為最新的權威結論，被各種文獻引用千余次。沒有壹篇引文對這個莫名其妙的分離表表示過懷疑。願意以此為準繩甚至是終極真理的中國學者，似乎並不願意花半個小時去查相關的古代著作。或許有壹段時間，學術問題的默認審判早已為大家所熟悉，害怕踩高壓線和跟風似乎已經形成慣性，成熟的人當然願意繼續習慣。？
3.萊布尼茨說了什麽？
事實上，萊布尼茨本人對二進制的研究到什麽程度，公眾很少討論。英國哲學史學會秘書、萊布尼茨學會負責人麥克唐納·羅斯教授在教材《萊布尼茨》第二章數學第二節“二進制算法”中，在充分介紹並高度評價了二進制本身的重大意義後指出，二進制對於萊布尼茨來說“除了壹個非常模糊的草稿之外”，其更重要的意義是“精神上的”，與他的發明有關。這個“非常模糊的草稿”本身並沒有引起羅斯的極大興趣，所以他用大量的筆墨引用了萊布尼茨的“精神”文獻。摘要如下:？
也許只有壹種東西是可以獨立構思的，那就是上帝自己——是存在，還是不存在。這可以通過壹個很好的類比來說明...【他簡單討論了壹下二進制記數法，繼續:】我不打算在這裏討論這個系統的巨大用途；只要指出用壹和無的方式表達所有數字是多麽美妙就夠了。然而，盡管事物的秘密秩序使得壹切都來源於純粹的存在和虛無這壹點不言而喻，並且人們在這壹生中沒有希望達到這壹秩序，但證明真理所必需的程度對於觀念的分析來說是足夠的。？
羅斯接著寫道:？
萊布尼茨對這個想法非常自豪，他打算用壹個刻有銘文的紀念徽章來紀念它。碑文寫著:“G.W .萊布尼茨發現的典型創造。”以及“為了從無到有衍生出壹切，壹個就夠了。”
羅斯在總結性評價中說，“就萊布尼茨而言，這壹發現最重大的意義是形而上的，或者更確切地說是神聖的，因為它表明了整個宇宙是如何被視為由數字組成的。”熟悉邵雍數學學派的專家很容易發現，上述觀點似曾相識，它們之間是否有內在聯系，需要熟悉中西比較的專家從更大的視角去研究。？
柯子能(中國科技大學科技史與考古系，安徽合肥230026)(原載於《周易研究》第3期，2001)