作者:龍轉貼自:原網站
圓內接三角形的壹個性質及其應用
五個方向王詠梅
性質:三角形任意兩條邊的乘積等於第三條邊上的高與它的外接圓直徑的乘積。
已知圓O是△ABC的外接圓，AD是BC邊的高度，AE是圓O的直徑..
證明:ab AC = ad AE。
證明:如圖1所示，如果連接BE，就會有。
圖1
廣告是BC邊的高度，
因此
因此
也就是
所以ab AC = ad AE。
這壹性質應用廣泛，巧妙地應用這壹性質解題，可以簡化解題過程。以下是壹些例子:
1.證明等積公式
示例1。如圖2所示，已知AB是圓O的弦，C和D在AB的同側。證明AD BD CE = AC BC DF。
圖2
證明:設圓O的直徑為d，則
AD BD=DF d
AC BC=CE d
乘以兩個公式
AD BD CE d=AC BC DF d
也就是
2.證明比例公式
例2。眾所周知，圓O的內接四邊形ABCD的對角線BD平分AC到E..驗證；。
證明:如圖3所示，分別研究A點和C點。
圖3
設圓O的直徑為d，那麽
3.證明定值
例3。兩個圓相交於A、B兩點，任意壹條通過交點B的直線與兩個圓分別相交於C、D點。驗證:AC與AD的比例是固定的。
證明:如圖4，連接AB，傳遞a。
圖4
設圓O1和圓O2的直徑分別為，兩個公式相除得到(壹個固定值)。
4.求函數公式
例4。如圖5所示，已知圓O的內接△ABC中，AB+AC=12，AD=3..設圓o的半徑為y，AB的長度為x，求y與x的函數關系，指出自變量x的取值範圍。
圖5
解決方案:連接AO，將交點o延伸到e，然後
因為△ABD和△ACD是直角三角形，而
AD=3，所以
也就是說，自變量x的範圍是。
練習:
已知AC和BD是圓O的內接四邊形的兩條對角線，和。
驗證:是固定值。
舉例說明圓的動態變化
劉瑞花和陸華彬
隨著新課程的實施和素質教育的深入，壹些與幾何相關的動態變化頻繁出現在各省市的中考試題中，成為近兩年中考數學的熱點之壹。解決這類問題需要仔細閱讀、觀察、比較、推理、歸納。下面舉例說明圓的動態變化。
首先，位置關系發生了變化
1.兩個圓之間的位置關系發生了變化。
示例1。如圖1，⊙和⊙與點P相切，A為上點，直線AC與點C相切，與點B相交，直線AP與點D相交..
(1)驗證:PC股份BPD；同等地；
(2)將“⊙、⊙與點P相切”改為“⊙、⊙與點P相切”，如圖2所示。其他條件不變，(1)中的結論仍然成立嗎？並證明妳的結論。
解析:兩個圓相切可以聯想到作兩個圓的公切線，然後通過切線角定理、切線性質定理、三角形內角和定理的推導證明本題的結論。第二題(1)中的結論仍然成立，證明過程留給大家思考。
2.圓的中點位置發生變化。
例2。如圖3，AB是半圓O的直徑，點M是半徑OA的中點，點P在線段AM上移動(與點M不重合)，點Q在半圓O上移動，始終保持PQ=PO，交點Q的切線⊙O，交點BA的延長線在點c。
(1)當時，請對的形狀進行猜測，並給出證明；
②當時，的形狀是_ _ _ _ _ _ _ _ _三角形；
(3)從(1)(2)的結論，請進壹步猜測，無論P點何時移動到線段AM上的任意位置，都壹定是_ _ _ _ _ _ _ _ _三角形。
解析:很容易從設置條件連接圓心和切點，構造壹個直角三角形，然後利用三角形內角和定理的推導和切線的性質求解。
第二，圓圈的滾動
圓的滾動問題大致可以分為三類:壹是圓在直線上滾動，二是圓在折線上滾動，三是圓在曲線上滾動(壹般指圓或圓弧)。在不同的線上滾壹圈會產生不同的情況。我們以在直線上滾圓為例。
例3。如圖4，直徑為D的硬幣沿直線l滾動壹次，硬幣中心經過的距離是多少？
解析:圓從A點開始，沿直線L順時針滾動到b點，線段AB的長度明顯等於圓的周長，即圓心通過的距離，因為直線L與圓相切。
請考慮壹下。如果硬幣從A點沿直線L順時針滾動n圈，硬幣中心經過的距離是多少？
第三，圈子的擴大
例4。如圖5所示，等邊三角形ABC的邊長為6。如果以C點為圓心的⊙C的半徑r發生變化，從⊙C之和的範圍和每邊的共* * *點數會發生什麽變化？寫出各種情況下n的值和對應r值的範圍。
解析:可得等邊三角形ABC的高CD，故R的討論範圍為，或(2)當r=6或
n=4 .
同心圓的壹組性質及其應用
賈·
自然:
1.同心圓中與小圓相切的大圓的弦被切點平分；
2.同心圓中與小圓相切的大圓的弦都相等。
利用這兩個結論，可以提示我們計算和證明與同心圓中特殊弦有關的問題。請自行完成結論的具體證明過程。
示例1。如圖1，兩個同心圓的圓心為O，大圓的弦AB和AC分別與小圓在D和E處相切，直線MN和大圓與A點相切..
圖1
驗證:(1)；
(2)公元前300年.
證明了:(1)∵大圓和小圓的弦AB，AC分別與D，E相切。從結論1得出:
AD=DB，AE=EC .
∴DE是△ABC的中線，
∴。
(2)從結論2，我們可以得到AB=AC，
∴∠B=∠C
∵MN和大圓與a相切，
∴∠MAB=∠C
∴∠B=∠MAB
∴MN‖BC。
例2。如圖2所示，在以O為圓心的兩個同心圓中，A和B是大圓上的任意兩點，通過A和B的割線ACD和BEF是小圓。
圖2
驗證:AC ad = be BF
證明了a和b分別是大圓與小圓相切的弦AG和BH以及M和N。
從“結論1，2”很容易知道AM=BN。①
根據切割線定理，得出
②
可以用①和②證明:AC ad = be BF。
圓和正多邊形的點細化
李曉傑
《圓與正多邊形》單元的學習要求主要包括:了解圓與正多邊形的關系，理解正多邊形的相關概念，運用所學知識計算正多邊形的邊長、半徑、遠點、圓心角、周長、面積。中考單獨考察正多邊形主要有計算、繪制、鑲嵌、重疊、形狀填充等。在解決有關圓和正多邊形的問題時，要特別註意向有關三角形，尤其是直角三角形問題的轉化。由正多邊形的半徑、頂點和邊長組成的直角三角形是解決正多邊形計算問題的基本圖形，集中反映了正多邊形各元素之間的關系，弦中心距正是正多邊形和圓之間的橋梁。
示例1。高為3的正三角形的內切圓半徑、外接圓半徑、邊長、面積是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
解法:如圖1，O為正三角形ABC的圓心，若△ABC的外接圓半徑為R，內切圓半徑為R，則R = AO = 2OD = 2r。從AD=3，AO=2，所以R=2，r=1。在Rt△ODB中，OB=R=2，容易得到，BC因此，得到GF是因為△EFG∽△ABC，而OB和OD分別是△EFG和△ABC的壹個極。
圖1
點評:從正多邊形的對稱性，很容易知道O點是正三角形ABC的外接圓和內切圓的圓心。因為邊數相同的正多邊形是相似的，所以在計算相應的線段或面積時，常常用相似比來連接這些正多邊形。
例2。已知正六邊形中兩條平行對邊的距離為d，求正六邊形的面積。
解決方案:如圖2所示，apothem很容易獲得。
圖2
∵∠AOB = 60°，OA=OB，∴△OAB是壹個正三角形。
∴。
∴。
∴
點評:在正多邊形題目中，由正多邊形的對稱性可知，正多邊形的圓心是壹個特殊的有價值的點，它可以與正多邊形的任意邊形成壹個等腰三角形，可以求出這個等腰三角形的底邊(正多邊形的邊)和這個等腰三角形的三個內角(由正多邊形的內角計算)。
例3。如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，直徑為AB且⊙O的半圓圍成的陰影部分面積為S1。如果正方形ABCD的面積為S，請判斷S1與S的關系，並說明理由。
圖3
解法:設⊙O的半徑為R，弦AB和S2圍成的弓形面積，那麽就很容易知道∠ AOB = 90。。
∵,
∴。
∴
又來了。
經過
點評:對於求量關系的問題，我們有時可以通過觀察圖形來猜測，然後證明。這個例子需要通過計算得到的結果來確定數量關系。采用區域切割和補償的方法來解決這個問題。
例4。已知邊長為2的正方形中有五個全等的正八邊形，如圖4所示排列，求正八邊形的邊長。
解法:設正八邊形的邊長為x，如圖4。
圖4
因為△ADE是等腰直角三角形且DE=x，X，
因此。
並且ef = GH = lm = X。
∴
解決方法是正八邊形的邊長是。
點評:在圓和正多邊形的問題中，關鍵是變換思想的應用，比如把復雜圖形變成簡單圖形，把多邊形變成三角形。
外接圓的性質及應用。
孫建宏
兩個圓之間有五種位置關系:外切、外切、相交、內接和包含。當兩個相切的圓，除切點外，每個圓上的點都在另壹個圓之外時，我們稱這兩個圓為外切圓。此外，外切關系是兩個圓的位置關系中的壹個重要關系，它具有許多性質。
性質(1)兩個外接圓的交線必經過它們的切點，兩個圓心的距離為d(中心距)。
等於兩個圓的半徑之和，即D = R+R。
當兩個圓外切時，任壹圓通過兩個圓的切點的切線也壹定是另壹圓的切線，即，
這三條線的兩個中心和切點。
例1如果兩個圓的半徑分別為r，r (r > r)，它們的圓心之間的距離為d，那麽這兩個圓的位置關系是_ _ _ _ _ _ _ _。
解決方案:因為
因此
因此
所以d=R+r(R+r=-d無關)。
因此，兩個圓之間的位置關系是外切的。
第二，外切的兩個圓有三條公切線，其中兩條是外切線，壹條是內切線，內切線通過兩個圓的切點並垂直於它們的交線。
如圖1，若R and R的半徑⊙外切，且外切AB分別在A和B中⊙AB，則AB為外公切線長。偶數，由正切性質可知。
可以證明四邊形ABCD是矩形，而且是
因此，
在rt δ時，
屬性(2)的外公切線長度等於
兩個圓外切時，經常加的輔助線是內公切線，因為內公切線可以產生兩個圓的等弦切角，可以連接兩個圓的元素。
性質(3)加內公切線是解決外接圓問題的金鑰匙。
如圖2所示，已知例2⊙⊙與點C相切，PA與點A相切，與點P和D相交，PC與點B直接相交..
證明:AC股∠BCD。
解決方案:讓⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙8
PA在a點切割≥,
所以∠MAC=∠ACM，
所以∠ACB=∠P+∠MAC=∠MCD+∠MCA=∠DCA。
也就是AC股∠BCD。
4.再看下壹個例子:如圖3，⊙⊙與點P相切，AB是兩個圓的切線，切點為A和B，並證明是直角三角形。
解法:若P在E處與內公切線AB相交，由切線長度定理可知EB = EP，EP = EA，即EB=EP=EA。根據定理(在壹個三角形中，壹邊的中線等於該邊的壹半，則該三角形為直角三角形)。
在這個問題中，AB是切線和兩個圓的切點，P是兩個圓的切點。
我們習慣稱之為相切三角形。
在兩圓外切關系的幾何證明中，利用相切三角形分析解決問題可以事半功倍，其應用在兩圓外切關系中尤為重要。
性質(4)相切三角形是直角三角形。
例4(重慶中考)如圖4所示⊙ ⊙與P點相切，內公切線PC和外切線AB(A和B分別為⊙ ⊙上的切點)相交於c點，已知⊙⊙的半徑分別為3和4，則PC的長度等於_ _。
分析:由於AB是外切，由性質(2)可知。
從性質(4)還可知，直角在三角形中，CP=CB=AC，所以CP是斜邊AB上的中線，所以
例5。如圖5所示，⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙8
⊙在c，在D，D，CA，DB的延長線相交於q，證明:。
簡要分析:即使是AP和BP，從上面的題目我們知道∠APB = Rt∞，而∠CAP =∠PBD = Rt∞，所以從四邊形內角和定理我們知道∠Q = Rt∞，也就是。
兩圓外切關系的這些性質，在解題時應靈活運用。例4和例5中的相切三角形是沒有的，是通過加直線來構造的，難度稍微大壹點。所以，要舉壹反三，就必須在頭腦中對這些性質有深刻的印象。
切圓的性質及其應用
楊慧珍
三角形的切圓是指與三角形的壹條邊和另外兩條邊的延長線相切的圓。它的相關性質在中考和競賽題中經常用到，但在教材中幾乎沒有涉及，給解題增加了很多麻煩。先說切圓的性質和應用。
1.性能
如圖1，⊙O將BC邊切到D，將AB和AC的延長線切到E和F，則:
圖1
(1)OD = OE = OF；
(2);
(3)。
事實上，它的逆命題也是成立的:
(4)如果O是平分線∠A上的壹點，並且
那麽O就是△ABC的切圓心。
(5)若o為∠A的平分線上的壹點，OE⊥AB在e中，OF⊥AC在f中，則o為△ABC的切圓心。
逆命題的證明如下:
如圖2所示，交叉點o是d中的OD⊥BC
圖2
因為o在平分線∠A上，
OE⊥AB,OF⊥AC，
所以OE=OF。
截距FM =在AC的延長線上，
所以Rt△BEO≌Rt△MFO
因此...
因為，
再說壹遍，
所以，
也就是說，
所以∠BOC=∠COM，△BOC≔△MOC，
(若BE+CF=BC，即BC=CM，也全等)
所以，
即o在∠EBC的平分線上，
所以o是△ABC的側中心。
2.應用
示例1。如圖3所示，EG和FG分別是∠MEF和∠NFE的平分線，交點分別是G，PB和PC ∠MBC和∠NCB的平分線，交點為p，若∠ G = 60，則∠。
圖3
解:因為G是∠MEF和∠NFE平分線的交點，所以
g是△AEF的形心，同樣，P是△ABC的形心。
從性質(2)中，我們知道
例2。如圖4所示，在正方形ABCD中，AB=1是以B為圓心，AB為半徑的圓的圓弧，點E是邊AD上的任意壹點(點E與A和D不重合)，交點E是圓的切線，交點DC在點F，G是切點。
圖4
(1)當∠ def = 45時，
驗證:g是線段EF的中點。
(2)設AE=x，FC=y，求Y關於X的分辨函數，寫出自變量的值域。
解:(1)因為⊙B與兩條延長線EA，FC和△DEF的第三條邊EF相切，
所以⊙B是△DEF的切圓，
AE=EG，FC=GF，
因為∠ def = 45，∠ d = 90，
所以∠ dfe = 45。
即DE=DF，
AE=FC，也就是EG=GF。
(2)因為⊙B是△DEF的切圓，所以由性質(3)得到
因為，
從勾股定理，我們知道
簡化，獲得
例3。如圖5，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠D = 90°，BC=CD=12，∠Abe = 45°，E在DC上，AE和BC的延長線與f相交，若AE=10
圖5
解:b是BG⊥DA，豎腳是g，顯然BCDG是方的
BG=BC=12 .
由此可知，b在∠D的平分線上，
又來了。
從性質(4)得到b是△AED的切圓心，
根據性質(3)，已知AG+EC=AE。
設AG=a，EC=b，則
a+b=10 ①
從AD2+DE2=AE2，我們得到
②
從①、②，得到
從Rt△ADE∽Rt△FCE，我們可以得到
FC=3或FC=8，
因此
=54
或者。
例4。如圖6所示，△ABC是邊長為1的正三角形，△BDC是頂角為∠ BDC = 120的等腰三角形，以D為頂點，作60°角，與AB相交於m，與AC相交於n，連接MN。證明:△AMN的周長為2。
圖6
解:很容易知道∠ Abd = ∠ ACD = 90，DB=DC。
所以d是∠ a的平分線上的壹點。
又來了。
所以d是△AMN的側中心。
從性質(3)可知，MN=BM+NC，
所以△AMN的周長=AM+AN+MN。
=AM+AN+MB+NC=2AB=2 .
例5。如圖7所示，在五邊形ABCDE中，∠ABC =∠AED = 90°，AB=CD=AE=BC+DE=1，則五邊形的面積是_ _ _ _ _ _ _ _ _。
圖7
解法:基於條件DE⊥AE，AB⊥BC，AB=AE=1，我們將其與三角形的切圓的性質聯系起來，將BC與ed的交點延伸到m點，則有
a是∠DMC平分線上的壹點，
而DC=DE+CB，
從性質(5)可知，A是△DMC的切圓心，
壹個是AH⊥DC，
從性質(1)我們知道AH=AB=AE=1，
並且BC+DE=CD，
因此
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