數學手稿的內容:闡述數學的概念結構。
許多數學對象，如數字、函數和集合，都有內部結構。這些對象的結構屬性在群、環、體和其他本身就是對象的抽象系統中討論。這是抽象代數的領域。這裏有壹個很重要的概念，就是向量，推廣到向量空間，在線性代數中研究。向量的研究結合了數學的三個基本領域:量、結構和空間。向量分析將其擴展到第四個基本領域，即變化。
空間
對空間的研究起源於歐幾裏德幾何。三角學結合了空間和數字，包含了壹個非常著名的勾股定理。現在對空間的研究擴展到高維幾何，非歐幾何，拓撲學。數字和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中起著重要的作用。微分幾何中有纖維叢、流形上的計算等概念。代數幾何中有多項式方程解集等幾何對象的描述，結合了數和空間的概念；還有拓撲群的研究，結合了結構和空間。李群用於研究空間、結構和變化。
基礎
為了理解數學基礎，發展了數理邏輯和集合論。德國數學家康托爾(1845-1918)首創集合論，大膽提出要？無限？馬奇為了給數學的各個分支提供堅實的基礎，並且自身的內容也相當豐富，提出了實無窮的思想，為以後數學的發展做出了不可估量的貢獻。
集合論在20世紀初逐漸滲透到數學的各個分支，成為分析論、測度論、拓撲學和數學科學中不可或缺的工具。20世紀初，數學家希爾伯特在德國傳播康托爾的思想，稱集合論？數學家的天堂？然後呢。數學思想最神奇的產物？。英國哲學家羅素稱贊康托爾的工作為？這個時代可以誇耀的最偉大的工作？。
邏輯
數理邏輯著重於把數學放在壹個堅實的公理框架上，研究這個框架的結果。就它而言，它是哥德爾第二不完全性定理的起源，這也許是邏輯學中流傳最廣的成果。現代邏輯分為遞歸論、模型論和證明論，與理論計算機科學密切相關。
標誌
也許中國古代的算術是世界上最早使用的符號之壹，它起源於商朝的占蔔。
我們今天使用的大多數數學符號都是在16世紀之後發明的。在此之前，數學是用文字書寫的，這是壹個會限制數學發展的硬性程序。今天的'符號使數學更容易被人們操作，但初學者往往害怕它。它被極度壓縮:幾個符號包含了大量的信息。像音樂符號壹樣，今天的數學符號有清晰的語法和信息代碼，很難用其他方式書寫。
數學手稿:二戰中數學與國防的關系，數學家在盟軍勝利中扮演了什麽角色？
馮？諾依曼是20世紀的頂級數學家，他也是第壹個計算機程序和存儲器的開發者。他對美國原子彈的制造做出了兩大貢獻:
壹是幫助洛斯阿拉莫斯找到壹種數學方法。？數學？指的是用快速計算機模擬計算原子彈的爆炸過程和爆炸威力。
二是研究爆炸彈，就是把壹些炸彈和原子彈捆綁起來，發出更大的威力。
烏蘭是波蘭數學家。他從歐洲逃到美國後，參加了曼哈頓計劃。為了模擬核實驗，他發明了蒙特卡羅計算方法。
前蘇聯偉大的數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫在第二次世界大戰中提出了平穩隨機過程理論。美國數學家維納提出濾波理論，起到消除噪聲幹擾，處理雷達獲得信息的作用。
英國數學家圖靈是設計通用數字計算機的第壹人。在第二次世界大戰中，他和壹些優秀的數學家壹起，終於破解了德國密碼之謎。美國密碼分析師也在1940破譯了日本密碼分析？紫色的秘密？密碼。
1942日本海軍突襲中途島失敗。其中壹個重要原因就是美國破譯了日本進攻中途島的情報。1943年4月，利用破譯的信息，美國鋪設了山本五十六的座機，成為密碼學史上精彩的壹頁。
在現代戰爭中，數學的作用更加突出。武器方面，有核武器、遠程巡航導彈等先進武器的較量。信息中存在著保密、解密、幹擾和抗幹擾的較量。在對策方面，有戰略、戰術、武器準備方面的較量。每壹項都與數學密切相關。
核反應過程在高溫高壓下進行，核爆炸的巨大能量在微秒內釋放。核試驗中核爆炸內部的細微過程很難測量，只能得到壹些綜合效應數據。而通過核反應過程的數學模型，數值計算可以給出爆炸過程中各種因素和機制的詳細圖像、定量數據和相互作用。加入《全面禁止核試驗條約》後，通過數值計算模擬核試驗更加重要。
關於巡航導彈，解放軍報在壹篇關於數學的力量的報道中寫道:？壹個方程提高衛星圖像質量30%，壹個公式改變壹支軍隊的知情模式。？信息豐富？加密？用什麽？解密？就像他們說的，這是壹場對抗？魔高壹尺道高十丈？。而這種對抗力的表現，都是基於數學理論的。比如大部分公鑰算法都是基於計算復雜度很高的難題，在高速的計算機上要花很多時間才能得到答案。這些方法通常來自數論。比如RSA來源於整數因式分解問題，DSA來源於離散對數問題，近幾年發展迅速的橢圓曲線密碼學就是基於橢圓曲線相關的數學問題。