劉徽的主要著作有:《九章算術筆記》(10卷)；“重差術”(1)在唐代改名為“島算”；《九章重差圖》有1卷，但後兩卷在宋代失傳。
劉徽的數學成就大致在兩個方面:
壹是理清中國古代數學體系，奠定其理論基礎。這壹方面體現在《九章算術筆記》中。它實際上已經形成了壹個比較完整的理論體系:
在數系理論方面，利用同數和異數闡述了復數分數的壹般除法、歸約、四則運算和化簡的算術規則。在處方的註釋中，他從處方的無窮意義上討論了無理根的存在性，引進了新的數，創造了用小數無限逼近無理根的方法。
在微積分理論方面，明確定義了比率，並以乘除齊等三種基本運算為基礎，建立了數與公式運算的統壹理論基礎。他還用“率”來定義中國古代數學中的“方程”，即現代數學中線性方程的增廣矩陣。
在勾股理論中，勾股定理和勾股解的計算原理被壹壹論證，建立了類似勾股形式的理論，發展了勾股度量。通過對“橫於鉤中”、“直於股中”等典型人物的分析，形成了具有中國特色的相似理論。
在面積和體積理論中，利用互補存取原理、余補不足和“割圓術”的極限方法，提出了劉輝原理，解決了各種幾何形狀和幾何體的面積和體積的計算問題。這些方面的理論價值依然在閃耀。
第二，在繼承的基礎上，提出自己的想法。這壹方面主要體現在以下具有代表性的創新:
割禮與圓周率:《九章算術》中的劉徽？在圓整場的註記中，用割線技巧證明了圓面積的精確公式，並給出了圓周率計算的科學方法。他先從圓內接的六邊形切圓，每邊數增加壹倍，計算到192多邊形的面積，π=157/50=3？14，並計算3072多邊形的面積，得到π=3927/1250=3？1416叫“徽率”。
劉輝原理:第九章算術中？楊馬術筆記，他在用無窮除法求解圓錐體體積時，提出了劉徽關於多面體體積計算的原理。
《和睦房改》中說:九章算術？他指出了公式V=9D3/16(D是球的直徑)的不準確性，並引入了著名的幾何模型“牟和方蓋”。“牟和方蓋”是指兩軸線互相垂直的內接圓柱體的相交部分。
方程式的新技術:第九章算術？方程”，他提出了壹種理解線性方程的新方法，運用了比值算法的思想。
加權差分法:在《海島計算經》白皮書中，他提出了加權差分法，采用了測高、測距的方法，如重量表、電纜連接、累積力矩等。他還運用“類比推導”的方法，將重力差技術從兩次觀測發展到“三次觀測”和“四次觀測”。而在7世紀，印度和歐洲只是在15 ~ 16世紀才開始研究兩次觀測的問題。
劉徽的《九章算術》是我國最早的數學專著之壹，成書於西漢。這本書的完成經歷了壹個歷史過程。書中收集的各種數學問題，有些是先秦流傳的，經過很多人長時間的刪改，最後由西漢的數學家整理出來。今天流傳的最終版本的內容，在東漢以前已經形成。《九章算術》是中國最重要的經典數學著作。它的完成為中國古代數學的發展奠定了基礎，在中國數學史上占有極其重要的地位。本期九章算術* * *收集了246道應用題和各種問題的解決方法，分屬九章，分別是田方、小米、下降、韶光、上工、平均虧損、收益不足、方程、勾股。
九章算術的出現是社會發展和數學知識長期積累的結果，匯集了不同時期數學家的勞動成果。劉徽認為:“周公有九禮，若有九禮，九章足矣。.....張蒼，漢北平侯，程耿壽昌，老農，都是算命的好手。蒼等因有舊文殘跡，稱為刪補。故學派宗旨或與古不同或與眾不同，理論更近。”根據劉徽的研究成果，《九章算術》源於《周公》中的九數，他所見的《九章算術》是西漢張蒼、耿壽昌在繼承先秦遺風的基礎上編輯而成，其中包含了大量西漢時期的補充內容。根據歷史文獻和出土文物，劉徽所說的是可信的。
《九章算術》中所包含的各種算法，都是在先秦兩漢數學家傳世的數學基礎上，為適應當時的需要而補充和修正的。據劉徽考證，張蒼和耿壽昌都是參與修訂工作的主要數學家。史記？《宰相張傳》記載，張蒼(約公元前250年~公元前152年)經歷了秦朝和漢朝兩個朝代。高帝六年(公元前2065438+公元前0)，因攻藏茶有功，封為北平侯。“自秦為史之列，明日下書。並善用算術歷。”他還“寫了18本書，解釋陰陽法則。”耿壽昌出生年月不詳。漢高祖宣帝做官的時候，成了高級農民，“以善為算計，能以功利經商”受到皇帝的青睞。他在天文學上主張渾天說，並在甘露二年(前52年)奏“以圓儀花月，驗天之形。”張蒼和耿壽昌都是著名的數學家，身居高位。他們自然要主持修訂先秦時期流傳下來的算術。根據劉徽的記載，他註的《九章算術》最終由耿壽昌主編。我們認為耿壽昌編輯《九章算術》的時間可以定為此書完成的時間。
《九章算術》是國家組織編寫的官方數學教科書，對漢代數學的發展有很大影響。《廣韻》共有四章，分別是許商、、吳、王參合而成的《九章》和《後漢書》？《馬援傳》是馬旭(約70 ~ 141)九章所記，此人學識淵博，擅長算術。此外，還有鄭玄(127 ~ 200)、劉虹等人的《九章算術》的記載。可見該書是當時學習數學的重要教材。東漢光和二年(179)壹塊銅版上的銘文規定:“大司農取五印(138？)字母，...多州為銅鬥，斜稱。按黃忠歷法，《九章算術》長短、輕重、大小相等，天下皆同。”這說明該書不僅在東漢時期廣為流傳，而且度量衡發展過程中涉及的數學問題都要以書中的算法為基礎。許商和杜摯可能是《九章經》成書後第壹批研究它的數學家。許商和杜摯都是西漢末年的數學家。漢書？《藝文誌》錄《許商算術》26卷，《杜摯算術》16卷。這兩本書是殷先在漢成帝三年(前26年)校其數學著作之前所作。許商和杜摯著作的成書日期與耿壽昌刪補《九章算術》的時間相差不遠。他們的數學著作應該是在學習九章算術的基礎上完成的。
《九章算術》不僅在中國數學史上占有重要地位，而且對世界數學的發展也做出了重要貢獻。分數理論及其完備算法，比例與比例分配算法，面積與體積算法，以及各種應用問題的解決方法，在書中的方域、小米、衰變、商功、偶損等章節都有詳細的描述。《韶光》、《盈與虧》、《方程》和《勾股》等章節中的開方法、盈與虧(雙假設法)、正負數的概念、線性聯立方程組的求解、整數勾股串的通式等，都是世界數學史上的傑出成就。
劉徽《九章註》不僅在整理古代數學體系、完善古代計算理論方面取得了重要成果，而且提出了豐富多彩的思想和發明。他用比值論建立了數和公式的統壹理論基礎，應用進出互補原理和極限方法解決了面積和體積的許多問題，建立了獨特的面積和體積理論。他用九章的篇幅對很多結論進行了嚴格的證明，他的壹些方法對後世，甚至對今天的數學都有很大的啟發。
劉徽的工作不僅對中國古代數學的發展產生了深遠的影響，而且在世界數學史上奠定了崇高的歷史地位。鑒於劉徽的巨大貢獻，很多書都稱他為“中國數學史上的牛頓”。