為了理解不可預測性如何與決定論相調和，我們可以看看壹個遠沒有整個宇宙重要的系統——水龍頭上滴下的水滴。這是壹個確定性的系統。原則上，流進水龍頭的水的流量是穩定均勻的，水流出的時候會發生什麽完全是由流體運動規律規定的。但是壹個簡單而有效的實驗證明，這個表面上確定性的系統會產生不可預測的行為。這讓我們有了某種數學上的“橫向思維”，解釋了為什麽會有這麽奇怪的事情。
如果妳小心翼翼地打開水龍頭，等幾秒鐘，當流速穩定後，通常會產生壹系列規則的水滴，它們以規則的節奏和相同的時間間隔落下。很難找到比這更可預測的了。但如果妳慢慢打開水龍頭增加水流，調節水龍頭，壹串水滴會以非常不規則的方式落下，看起來是隨機的。只需要幾次實驗就能成功。實驗中均勻轉動水龍頭。不要把它開得太大，這樣水就成了不間斷的水流。妳需要的是中速點滴。如果妳調整得當，妳可以在很多分鐘內聽不到任何明顯的模式。
從65438到0978，壹群來自加州大學聖克魯斯分校的年輕研究生組成了壹個研究動力系統的小組。當他們開始考慮水滴系統的時間時，他們意識到它並不像看起來那樣無規律。他們使用麥克風記錄水滴的聲音，並分析每壹滴和下壹滴之間的間隔序列。他們展示的是短期的可預測性。如果我告訴妳連續三滴水的下落時間，妳就能預測下壹滴水的下落時間。例如，如果水滴之間的最後三個間隔是0.63秒、1.17秒和0.44秒，就可以確定下壹個水滴會在0.82秒後落下(這些數字只是為了說明)。事實上，如果妳知道前三滴水的確切時間，妳就可以預測整個系統的未來。
那麽為什麽拉普拉斯是錯的呢？問題是我們永遠無法精確測量系統的初始狀態。我們在任何物理系統中所做的最精確的測量，對大約10個小數位或12個小數位是正確的。但拉普拉斯的說法只有在我們使測量達到無限精度(即無限小數位數，當然這是不可能的)時才是正確的。在拉普拉斯的時代，人們已經知道了這種測量誤差，但壹般認為，只要進行初始測量，比如10位小數，所有後續的預測都會精確到10位小數。誤差既不消失也不擴大。不幸的是，誤差確實被放大了，這使得我們無法將壹系列短期預測串起來，得到壹個長期有效的預測。比如，假設我知道前三滴水的滴下時間，精度是小數點後10位，那麽我就可以預測下壹滴水的滴下時間，精度是小數點後9位，下壹滴水的精度是8位，以此類推。誤差每壹步放大近10倍，我對進壹步的小數位失去信心。所以，向未來邁出10步，我對下壹滴水的滴落時間毫無概念。(確切的位數可能不壹樣:可能會讓每6滴失去1位小數的精度，但只需要60滴，同樣的問題又會出現。)
這種誤差放大是壹種邏輯缺陷，粉碎了拉普拉斯的完全確定性理論。要完善整個測量是不可能的。如果我們能把滴落時間測量到小數點後100位，那麽未來達到100滴(或者更樂觀的估計是600滴)時，我們的預測就失效了。這種現象被稱為“對初始條件的敏感性”，或者更通俗的說法是“蝴蝶效應”(東京的壹只蝴蝶扇動翅膀，可能會導致壹個月後佛羅裏達的颶風)。與行為的高度不規範密切相關。根據定義，任何真正有規律的事物都是完全可預測的。但是對初始條件的敏感性使行為變得不可預測——因此是不規則的。因此，對初始條件敏感的系統稱為混沌系統。混亂的行為滿足確定性法則，但它是如此的不規則，以至於在未經訓練的眼睛看來是混亂的。混亂不僅是壹種復雜的非模態行為，而且更加微妙。混沌是壹種看似復雜且無模式的行為，實際上有壹個簡單且確定的解釋。
混沌的發現是很多人做的(多到此不壹壹列舉)。它的出現是三個獨立發展的匯合。首先是科學關註點的變化，從簡單的模型(比如重復循環)到更復雜的模型。第二是計算機，它使我們能夠方便快捷地找到動力學方程的近似解。三是關於動力學的壹種新的數學觀點——幾何觀點而不是數值觀點。第壹個進步提供動力，第二個進步提供技術，第三個進步提供理解。
動力學的幾何化起源於大約100年前。法國數學家亨利·龐加萊(Henri Poincare)是壹個獨立的人(如果有的話)，但他是如此的傑出，以至於他的許多觀點幾乎在壹夜之間成為正統。當時他發明了相空間的概念，相空間是壹個虛構的數學空間，代表給定動力系統所有可能的運動。舉壹個非機械的例子，讓我們考慮壹個捕食者-食餌生態系統的群體動力學。在這個系統中，捕食者是豬，獵物是松露(壹種奇怪而辛辣的菌類)。我們關註的變量是兩個種群的大小——豬的數量和塊菌的數量(都是相對於壹個參考值，比如1萬)。這個選擇實際上是讓兩個變量連續，也就是取帶小數位的實值而不是整數值。例如，如果豬的參考數量是1萬，那麽17439頭豬相當於0.017439的值。現在，松露的自然生長取決於松露的數量和豬吃松露的速度:豬的生長取決於豬的數量和豬吃松露的數量。所以每個變量的變化率取決於這兩個變量，我們可以把註意力轉向群動力學的微分方程。我就不列舉方程了，因為這裏的關鍵不是方程，而是妳用它們做什麽。
這些方程原則上決定了任何初始群體值將如何隨時間變化。例如，如果我們從17439頭豬和788444株松露開始，那麽妳為豬變量引入0.017439的初始值，為松露變量引入0.788444的初始值，方程會隱式地告訴妳這些數字會如何變化。難的是把這個蘊涵說清楚:解方程。但是妳在什麽意義上解這個方程呢？經典數學家的自然反應是找到壹個公式，精確地告訴我們在任何時刻豬頭和菌株的數量會是多少。不幸的是，這樣的“顯式解”非常罕見，除非方程具有非常特殊和受限的形式，否則幾乎不值得花力氣去尋找它們。另壹種方法是在計算機上尋找近似解，但那只能告訴我們這些具體的初值會發生什麽，以及我們最想知道的許多不同的初值會發生什麽。
龐加萊的想法是畫壹幅圖，畫出所有初值的變化。系統的狀態——某壹時刻兩組的大小——可以表示為平面上的壹點，可以用坐標法表示。例如，我們可以用橫坐標表示豬頭的數量，用縱坐標表示塊菌株的數量。上述初始狀態對應壹個橫坐標為0.017439，縱坐標為0.788444的點。現在讓時間流逝。坐標根據微分方程表示的規則從壹個時刻到下壹個時刻發生變化，因此相應的點會移動。根據動點畫壹條曲線；那條曲線是整個系統未來狀態的直觀表達。事實上，通過觀察這條曲線，妳可以在不知道坐標的實際值的情況下“看到”重要的動態特性。
例如，如果曲線閉合成壹個環，兩組遵循壹個周期性的循環，不間斷地重復相同的值，就像賽道上的汽車每圈都經過相同的觀眾壹樣。如果曲線接近某壹點，停在那裏，群體會穩定到壹個穩態，這裏壹個都不會變——就像壹輛耗盡燃料的賽車。由於好運的巧合，循環和穩態具有重要的生態學意義——特別是，它們為群體的大小設置了上限和下限。所以這些最容易被肉眼看到的特征，確實是實際事物的特征。而且可以忽略很多不相關的細節——比如我們可以看到有壹個閉環(代表兩個群周期的合成“波形”)，而不用描述它的確切形狀。
如果我們嘗試壹對不同的初始值會發生什麽？我們得到第二條曲線。每對初始值定義壹條新曲線。通過畫出壹整族這樣的曲線，我們就可以掌握系統在所有初值下所有可能的行為。這壹系列曲線類似於盤旋在平面周圍的虛擬數學流體的流線。我們稱這個平面為系統的相空間，那壹族懸停曲線就是系統的相圖。取代了基於各種初始條件的符號的微分方程的概念，我們有了流經松露空間的點的直觀幾何圖像。這與普通平面的區別僅在於，很多點是勢點而不是實點:它們的坐標對應的是在適當的初始條件下可能出現的豬頭數和塊應變，但在特定情況下可能不會出現。所以除了從符號到幾何的心理轉移，還有從現實到潛在哲學的轉移。
對於任何動力系統，妳都可以想象出同樣類型的幾何圖像。有壹個相空間，它的坐標是所有變量的值；相圖，即代表從所有可能的初始條件開始的所有可能行為的壹族螺旋曲線，由微分方程描述。這個想法是壹個很大的進步，因為我們不需要關心微分方程解的確切值，而是可以專註於相圖的廣泛範圍，這樣人們就可以充分發揮自己最大的優勢(即驚人的圖像處理能力)。相空間圖作為壹種編織所有潛在行為(大自然從中選擇實際觀察到的行為)的方式，在科學中得到了廣泛的應用。
由於龐加萊的偉大創新，動力學可以借助於被稱為吸引子的幾何形狀來可視化。如果讓壹個動力系統從壹個初始點出發，觀察它的長期運行，往往會發現它最終在相空間中圍繞壹個確定的形狀徘徊。例如，壹條曲線可以螺旋成壹個閉合的環，然後永遠繞著該環旋轉。此外，初始條件的不同選擇會導致相同的終端形狀。如果是這樣，這個形狀就叫做吸引子。系統的長期動態特性受其吸引子支配，吸引子的形狀決定了產生什麽樣的動態特性。
例如，壹個趨於穩定的系統有壹個吸引子，它是壹個點。傾向於周期性重復相同行為的系統具有閉環吸引子。換句話說，閉環吸引子相當於壹個振蕩器。請回憶壹下第五章中對振動弦的描述:小提琴弦經歷了壹系列最終使它回到起點的運動，並將壹遍又壹遍地重復那個系列。我的意思不是小提琴弦在物理環中運動，但我對它的描述是壹個隱喻的閉環:運動在相空間的動態地形中四處旅行。
混沌有其奇特的幾何意義，這與被稱為奇怪吸引子的奇異分形形狀有關。蝴蝶效應表明，奇異吸引子上的詳細運動是無法預先確定的，但這並不能改變它是吸引子的事實。想象壹下，如果妳把壹個古老的球扔進波濤洶湧的大海，不管妳是從空中把它扔下來，還是讓它從水下浮上來，它都會向大海運動。壹旦到達海面，它會在起伏的海浪中經過壹條非常復雜的路徑，但不管路徑有多復雜，球還是留在海面上或者至少接近海面。在這幅圖中，海面是吸引子。因此，盡管混沌，無論起點可能是什麽，系統最終將非常接近其吸引子。
混沌作為壹種數學現象已經得到了充分的證明，但是在現實世界中如何才能檢測到呢？我們必須完成壹些實驗，但是有壹個問題。經驗在科學中的傳統作用是檢驗理論預測，但如果蝴蝶效應在起作用——就像它在任何混沌系統中壹樣——我們怎麽能指望檢驗壹個預測呢？是不是混沌本質上是不可測試的，因此是不科學的？答案是，“沒有”！因為“預言”這個詞有兩個意思。壹是指“預測未來”。當混沌出現時，蝴蝶效應阻礙了對未來的預測。但另壹個意思是“預先描述實驗結果會是什麽”。讓我們考慮壹下拋硬幣100次的例子。為了預測——從算命師的意義上來說——會發生什麽，妳必須事先列出每次投擲的結果。但妳可以進行科學預測，比如“大約壹半的硬幣會正面朝上”，而不必具體預測未來——即使預測，系統仍然是隨機的。沒有人會認為統計學是不科學的，因為它處理的是不可預測的事件，所以它也以同樣的態度對待混沌。妳可以對混沌系統做出各種預測。事實上，妳可以做出足夠的預測來區分確定性混沌和真正的隨機性。妳可以經常預測的壹件事是吸引子的形狀，它不受蝴蝶效應的影響。蝴蝶效應的作用是使系統在同壹個吸引子上遵循不同的軌跡。總之，吸引子的大致形狀往往可以從實驗觀察中得到。
混噸的發現揭示了對法律與結果行為關系的壹個基本誤解，即原因與結果的關系。我們以前認為確定性的原因壹定會產生規律性的結果，現在知道它們可以產生極不規則的結果，很容易被誤解為隨機性。以前我們認為簡單的原因必然產生簡單的結果(也就是說復雜的結果必然有復雜的原因)，現在我們知道簡單的原因也能產生復雜的結果。我們意識到知道這些規律並不意味著我們可以預測未來的行為。
這種因果之間的脫節是如何產生的？為什麽同樣的規律有時候會產生明顯的模式，有時候會產生混油？答案可以在每個家庭的廚房裏找到，在壹個像打蛋器壹樣簡單的機械裝置裏。兩個打蛋器的運動簡單且可預測:每個打蛋器都平穩旋轉。然而，糖和蛋白質在裝置中的運動要復雜得多。糖和蛋白質在打蛋器的作用下混合在壹起，這就是打蛋器的作用，但兩個旋轉的打蛋器並沒有絞在壹起。完了就不用解開打蛋器臂了。為什麽攪拌蛋白的動作和打蛋器手臂的動作差別那麽大？混合是壹個動態過程，比我們想象的要復雜得多。想象壹下，試圖預測壹個特定的糖顆粒最終會在哪裏是多麽困難！當混合物通過壹對打蛋器時，它被左右分開。最初靠在壹起的兩顆糖粒很快分開，分道揚鑣。其實這就是蝴蝶效應在起作用。初始條件的微小變化影響很大。所以，混合是壹個混沌的過程。
相反，在龐加萊虛相空間中，每壹個混沌過程都包含壹個數學混合物。這就是為什麽潮汐是可預測的，而天氣是不可預測的。兩者包含的是同壹類型的數學，只是潮汐的動力學在相空間不混合，而天氣的動力學在相空間混合。
傳統上，科學重視秩序，但我們開始意識到，混沌可以給科學帶來獨特的好處。混沌更容易對外界刺激做出快速反應。想象壹個網球運動員在等待發球。他們站著不動嗎？他們經常從壹邊移動到另壹邊嗎？當然不是。他們的腳亂蹦亂跳。部分原因在於擾亂其對手；但與此同時，我也準備好回應任何被送出的球。為了在任何特定的方向上快速移動，它們在許多不同的方向上快速移動。與非混沌系統相比，混沌系統很容易對外界事件做出非常迅速的反應。這對於工程控制問題非常重要。例如，我們現在知道某種湍流是由混沌引起的——混沌是使湍流混沌的罪魁禍首。我們或許能夠證明，有可能建立壹種控制機制，對破壞任何小區域的壹次湍流做出非常迅速的反應，使經過飛機表面的氣流不會過於湍急，從而降低運動阻力。為了對不斷變化的環境做出快速反應，生物也必須表現出混沌行為。
這個想法已經被壹群數學家和物理學家變成了非常有用的實用技術，包括威廉·迪托、艾倫·加芬克爾和吉姆·約克，他們稱之為混沌控制。本質上，這個想法是讓蝴蝶效應為妳所用。初始條件的小變化導致後續行為的大變化，這可能是壹種優勢；妳必須做的壹件事是確保妳得到妳想要的大改變。了解混沌動力學是如何工作的，使我們有可能設計出壹種可以完全實現這壹要求的控制方案。這種方法已經取得了壹些成功。混沌控制最早的成果之壹是壹顆“死亡”的衛星改變了軌道，與壹顆小行星相撞，衛星只剩下非常少量的肼。美國國家航空航天局(美國國家航空航天局)操縱衛星繞月球旋轉五圈，每轉壹圈用壹點肼輕推衛星，最後發生碰撞。
這種數學思想已經被用於控制湍流中的磁條——壹種用於控制流經潛艇或飛機的湍流的原型；控制使跳動的心臟恢復有規律的節律，標誌著智能起搏器的發明；用於建立和預防腦組織電活動的節律波，為預防癲癇發作開辟了新的途徑。混沌已經成為壹個快速發展的行業。每周都有關於混沌的數學基礎的新發現，混沌對我們認識自然的新應用，或者關於混合噸產生的新技術的報道，包括混沌洗碗機(日本人發明的用兩個混沌旋轉臂清洗盤子的節能機器)和英國人發明的用混沌理論分析數據以改善礦泉水生產中質量管理的機器。然而，還有更多需要研究。也許混沌最後未解決的問題是奇怪的量子世界，幸運女神主宰著壹切。放射性原子隨機器衰變，它們唯壹的規律就是統計規律。雖然大量的放射性原子都有壹個確定的“半衰期”，但是其中的壹半何時會衰變，我們無法預測哪壹半會很快衰變。前面提到的愛因斯坦的論斷就是針對這個問題的。不會衰變的放射性原子和會衰變的放射性原子真的壹點區別都沒有嗎？原子如何知道該做什麽？量子力學明顯的隨機性能騙人嗎？真的是確定性混沌嗎？
想象某種最初是宇宙流體的振動液滴。放射性原子強烈振動，較小的液滴經常分裂衰變。這些振動如此之快，以至於我們無法仔細測量。我們只能測量平均量(比如能級)。現在，經典力學告訴我們，壹滴真實的流體會隨著油振動。當它振動時，它的運動是確定的，但不可預測。許多振動“隨機”分裂微小的液滴。蝴蝶效應使得無法預測液滴何時分裂，但這壹事件具有精確的統計特征，包括明確的“半衰期”。
放射性原子的明顯隨機衰變在微觀尺度上可能是類似的東西？到底為什麽會有統計法？統計規律是內在確定性的表現。它將從哪裏來？不幸的是，還沒有人讓這個誘人的想法結出果實——盡管它在精神上與流行的超弦理論相似，在超弦理論中，亞屬粒子是壹個人工振動的多維環。這裏的主要相似特征是振動環和振動液滴都在它們的物理圖像中引入了新的“內部變量”，但顯著的差異在於它們處理量子不確定性的方式。和傳統的量子力學壹樣，超弦理論將這種不確定性視為真正的隨機性。然而，在像液滴這樣的系統中，表面上的不確定性實際上是由壹種確定性的(但混沌的)原動力產生的。訣竅——只要我們知道如何操作——可能在於發明壹種保持超弦理論成功特征的結構，同時創造幾個具有混沌行為的內部變量。讓上帝的骰子確定，讓愛因斯坦在天之靈裏快樂，也許是壹種令人感動的方式。
重要的不是妳做什麽，而是妳怎麽做。
混亂正在顛覆我們對世界運行方式的舒適假設。壹方面，混沌告訴我們，宇宙遠比我們想象的要怪異。混沌讓很多傳統的科學方法受到懷疑，僅僅知道自然規律已經不夠了。另壹方面，混沌也告訴我們，壹些我們過去認為沒有規律的事情，其實可能是簡單規律的結果。自然混噸也是受法律約束的。在過去，科學經常忽略看似不規則的事件或現象，理由是因為它們根本沒有明顯的模式，它們不受簡單規律的支配。事實並非如此。就在我們眼皮底下有簡單的法律——控制流行病、心臟病或蝗災的法律。如果我們知道這些規律，我們也許能阻止隨之而來的災難。混沌向我們展示了新的規律，甚至是新的規律。混沌有了壹個新的通用模型。最早發現的模式之壹存在於滴水龍頭中。可能我們記得水龍頭可以有節奏的滴水，也可以隨機的滴水，取決於水流的速度。其實，滴水規律的水龍頭和滴水“不規律”的水龍頭，是同壹個數學處方的略有不同的變體。然而，隨著流經水龍頭的水的速度的增加，動態特性的類型發生變化。代表動力學特征的相空間中的吸引子是不斷變化的——它是以壹種可預測但極其復雜的方式變化的。
有規律滴水的水龍頭有反復滴水的節奏，每壹滴都和前壹滴壹樣。然後輕輕擰開水龍頭，水下降的速度稍微快壹點。現在節奏變成壹滴壹滴，每2滴重復壹次。不僅僅是水滴的大小(決定了水滴的聲音有多大)，從壹滴到下壹滴的滴落時間也有細微的變化。
如果妳讓水流快壹點，妳會得到4滴的節奏，如果水滴快壹點，妳會得到8滴的節奏。水滴重復序列的長度不斷翻倍。在數學模型中，這個過程無限延續，16，32，64等水滴的節奏組。然而，產生每個連續周期加倍的流速變得越來越微妙；而且有壹個流速，節奏組的大小會無限頻繁地翻倍。此時此刻，沒有水滴序列完全重復同樣的模式。這是混亂。
我們可以用龐加萊的幾何語言來表達發生的事情。對於龍頭來說，吸引子壹開始是閉環的，表示周期性循環。想象這個戒指是妳手指上的橡皮筋。當流速增加時，環分裂成兩個相鄰的環，就像橡皮筋在手指上纏繞兩圈壹樣。所以橡皮筋是原來長度的兩倍，所以周期也是兩倍。然後這個加倍的環沿著它的長度以完全相同的方式加倍，導致周期為4的循環，等等。翻了無限多次後，妳的手指纏上了壹根像意大利面條壹樣的橡皮筋，這就是混沌吸引子。
這種混沌創造方案被稱為周期加倍級聯。1975年，物理學家米切爾·費根鮑姆(Mitchell Feigenbaum)發現，壹個可以通過實驗測量的特殊數字與每個周期的倍增級聯相關聯。這個數字約為4.669，與π壹起，位列數學及其與自然關系中似乎具有不同尋常意義的奇異數字之壹。費根鮑姆數還有壹個符號:希臘語Umu δ。π這個數字告訴我們圓周和直徑的關系。同樣，費根鮑姆數δ告訴我們水滴循環與水流速的關系。準確地說，您必須將抽頭打開這個額外的量，並在每個周期加倍時減少l/4.669。
π是與圓相關的任何事物的數量特征。同樣，費根鮑姆數δ是任何周期倍增級聯的壹個定量特征，不管級聯是如何產生的，也不管它是如何通過實驗得到的。這個數字同樣會出現在關於液氨、水、電路、鐘擺、磁鐵和振動輪的實驗中。它是自然界新的普適模型，是我們只能通過混沌之眼才能看到的模型，是從定性現象產生的定量模型，是壹個數。這個數確實是自然數之壹。費根鮑姆打開了我們剛剛開始探索的數學新世界的大門？費根鮑姆發現的這種精確的模式(和聲和其他模式)是壹個傑作。最根本的壹點是，即使自然規律的結果看似沒有模式，規律依然存在，模式也是如此。混沌不是隨機的，它是由精確規律產生的看似隨機的行為。混亂是秩序的秘密形式。