2.通過勾股定理的應用，培養方程的思維和邏輯推理能力。
3.比較介紹中國古代數學家和西方數學家對勾股定理的研究，對學生進行愛國主義教育。
教學重點和難點
重點是勾股定理的應用；難點是勾股定理的證明和應用。
教學過程設計
首先，激發引入話題的興趣
介紹了中國數學家華提出的把勾股定理送到宇宙中與外星人交流的建議，說明勾股定理是2000年前中國古代數學家發現的，激發了學生對勾股定理的興趣和自豪感，引入了課題。
二、勾股定理的探索、證明和命名
1.猜測結論。
勾股定理的內容是什麽？也請體驗數學家發現新知識的樂趣。
教師使用計算機來演示:
(1)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為A，B，C，且∠ACB = 90°，使△ABC移動，但始終保持∠ACB = 90°，如拖動A點或B點
(2)在上述過程中，始終測量a2、b2、c2，並將上述典型動作的壹個或兩個狀態的測量值(約7 ~ 8)列成表格，讓學生觀察三個數之間的數量關系，得出壹個猜想。
(3)比較表明，銳角三角形和鈍角三角形的三邊的平方不存在這樣的關系，所以是直角三角形特有的性質。讓學生用語言描述他的猜測，畫出圖畫，寫出已知的東西並加以驗證。
2.證明猜想。
目前世界上證明勾股定理的方法有上百種。就連美國第20任總統加菲爾德也在1881(見教材第109頁圖(4))中提供了面積證明方法，而中國古代數學家利用圖形切割拼接的思想計算面積，提供了許多證明方法。我們采用其中壹種(老師制作教具演示)。
3.命名勾股定理。
中國稱這個結論為勾股定理，西方稱之為勾股定理。為什麽？
(1)介紹《周易舒靜》中勾股定理的記載；
②畢達哥拉斯在公元前582-493年發現了畢達哥拉斯定理。
(3)對比以上事實，對學生進行愛國主義教育，鼓勵他們進步。
三、勾股定理的應用
1.已知直角三角形的任意兩條邊都可以找到第三條邊。
例1在Rt△ABC中，∠C = 90，∠A，∠B，∠C的對邊分別為A，B，C。
(1) A = 6，B = 8求C和斜邊上的高度；(2) a = 40，c = 41，求b；(3) b = 15，= 25求a；(4) A: B = 3: 4，C = 15，求B .
說明:對於(1)，要求學生總結利用基本圖形(圖3-153)中的面積求斜邊高度的基本方法；對於(4)，引導學生運用方程的思想解決問題。
老師把(1)和(4)寫在黑板上，讓學生練習(2)和(3)。
例2求距離(精確到0。lmm)在圖3-152所示矩形零件上兩個孔的中心A和B之間(單位mm)。
老師展示如何根據圖上的大小求直角三角形ABC中的已知條件的投影。
習題1投影顯示:(1)在等腰Rt△ABC，∠C = 90°，AC:BC:AB = _ _ _ _ _ _ _ _；
(2)如圖3-153 ∠ ACB = 90，∠ A = 30，則BC:AC:AB = _ _ _ _ _ _ _ _ _；如果AB = 8，那麽AC = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；如果CD⊥AB，CD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
(3)若等邊△ABC的邊長為a，則高度AD = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，
S △ABC=______________
描述:
(1)學會用方程的思想解題。
(2)通過這個問題，讓學生總結並熟悉基本圖形中的壹些常見結論:
①等腰直角三角形的三條邊之比是1:1:；
②角為30°的直角三角形的三邊之比是1::2；
③邊長為A的等邊三角形的高為A，面積為
例3(板書)如圖3-154，AB = AC = 20，BC = 32，△ DAC = 90。求BD的長度。
分析:
(1)分解基本圖，基本圖有等腰△ABC和。
rt△ADC；
(2)加壹條輔助線——等腰△△ABC底部的高度。
AE，也是Rt△ADC斜邊上的高度；
(3)設BD為x .利用圖3-153中的基本關系，
用列方程求解。老師在黑板上寫字的詳細過程。
解是e中的AE⊥BC，設BD為x，則DE=16-x，AE2=AC2-EC2，AD2=DE2+AE2=DC2-AC2。代入上述公式得到DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2 =
∴2×202 =(32-x)2+162-(16-x)2，x=7。
2.用勾股定理作圖。
例4是壹段長度為。
註意:按照教材第101頁分析作圖即可，並強調直角三角形的構造方法和自己定義單位長度。
3.用勾股定理證明。
例5如圖3-155，在△ABC中，CD⊥AB在d中，AC >；公元前。
驗證:ac2-bc2 = ad2-bd2 = ab (ad-BD)。
分析:
(1)直角三角形的分解使用勾股定理。
在Rt△ACD中，AC2 = Ad2+Cd2；在Rt△BCD中，BC2 = Cd2+BD2。
(2)利用代數中的常數變形技術進行排序:
AC2-BC2=(AD2+CD2)-(CD2+BD2)
=AD2-BD2
=(AD+BD)(AD-BD)
=AB(AD-BD)。
例6已知:如圖3-156，RT △ ABC，∠ ACB = 90，d為BC的中點，DE⊥AB在e .驗證:AC2 = AE2-BE2。
解析:添加輔助連線AD，構造兩個新的直角三角形，選擇勾股定理和與結論相關的表達式進行證明。
4.可選示例。
(1)如圖3-157所示，在Rt△ABC中，∠ C = 90，∠ A = 15，BC = 1。求△ABC的面積。
提示:加壹條輔助線——BA的垂線與BA相交於D，AC相交於E，連接BE構成壹個夾角為30°的直角三角形BCE，同時用勾股定理求解，或者直接在∠ABC中使∠ Abe = 15，與CA相交於E .
(2)如圖3-158，△ABC，∠ A = 45，∠ B = 30，BC = 8。求交流側的長度。
解析:在d中加入輔助lines-CD⊥AB，構造45°角和30°角的直角三角形方程組求解。
(3)如圖3-159(a)所示，在四邊形ABCD中，∠B=
∠ d = 90，∠ c = 60，AD=1，BC=2，求AB，CD。
提示:加輔助線——延長BA和CD在E點的交點，用30°角構造RT △ EAD和RT △ EBC。利用它們的特性來解決問題(見圖3-159(b))。或者把四邊形ABCD分成直角三形體和30度的矩形來解決問題。(參見圖3-65438)
答案:AB=23-2，CD = 4-3。
(4)已知:3-160(a)，矩形ABCD..(四個角都是直角)
①P是矩形中的壹點，證明了PA2+ PC2= PB2+ PD2。
②當P移動到AD邊緣(圖3-160 (b))和矩形ABCD外(圖3-160 (c))時結論是否仍然成立。
分析:
(1)在四個直角三角形中分別添加輔助線-穿過p表示EF⊥BC，穿過BC表示f。
使用勾股定理。
(2)三個問題可以歸納為壹個命題如下:
矩形平面上任意點到不相鄰頂點的距離的平方和相等。
第四，師生共同回憶的總結
1.勾股定理的內容和證明方法。
2.勾股定理的作用:可以將三角形(壹個角為90°)的形狀特征轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2。
3.用勾股定理計算證明時，要註意用方程的思想求直角三角形的相關線段。
龍；利用輔助線構造直角三角形，使用勾股定理。
動詞 （verb的縮寫）家庭作業
1.教材第106頁，第2 ~ 8題。
2.看課本第109頁:勾股定理的證明。
課堂教學設計描述
這個教學設計需要2個課時才能完成。
1.勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數量關系，這是直角三角形的壹個重要性質。本教學設計利用計算機的優越條件(通過幾何畫板軟件動態顯示)，提供充足的典型材料——各種形狀、大小、位置發生變化的直角三角形，讓學生觀察分析，歸納總結，探究直角三角形三邊之間的關系，並與銳角、鈍角三角形進行比較。
2.學校也可根據自身教學條件，采用以下類比、聯想的探索方法引入新課程。
(1)復習三角形三條邊的關系，總結出較小的兩條邊之和大於第三條邊的規律。
(2)引導學生類比聯想:較小的兩條邊的平方和與第三條邊的平方有什麽關系？
(3)舉三個例子(見圖3-161 (a) (b) (c))。
通過比較發現，銳角三角形和鈍角三角形中兩個較小邊的平方和分別大於或小於第三邊的平方，直角三角形中兩個較小邊的平方和等於第三邊的平方。
(4)用教具演示圖3-151，驗證直角三角形猜想。
教學目的:1，會講解勾股定理的逆定理。
2、會用勾股定理的逆定理來判定壹個三角形是直角三角形。
3.能夠正確靈活地應用勾股定理和勾股逆定理。
教學重點:勾股定理逆定理的應用
教學難點:勾股定理逆定理的證明
教學方法:講座和實踐相結合
教學過程:
壹、復習題
1，勾股定理的書面語言
2.勾股定理的幾何符號語言
3.勾股定理的作用
4.填空:給定壹個直角三角形的兩條邊都是5，12，第三條邊的長度是。
第二，新課程的引入
勾股定理是壹個命題，任何命題都有逆命題。它的逆命題是什麽？
第三，講解新課
勾股定理逆定理的書面語言:如果壹個三角形的三條邊的長度:A、B、C是相關的，a2+b2=c2，那麽這個三角形是直角三角形。
壹個命題可以分為真命題和假命題。先要證明是真是假。
已知在ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，a2+b2=c2。
驗證:∠C=90？
解析:證明壹個角是90？，可以證明AC⊥BC
也可以用書來證明，自學。
證明勾股定理逆命題是真命題，即勾股定理逆定理。
勾股定理逆定理的幾何符號語言:在δABC∶A2+B2 = C2(或C2-A2 = B2)中
∴∠C=90？(勾股定理的逆定理)
重點:只要滿足以上關系，就壹定是直角三角形，長的壹邊是斜邊，它對著的角就是直角。
比如三條邊分別是3，4，5，能不能組成壹個直角三角形，5，12，13？9, 40, 41?
勾股數:可以是直角三角形三條邊長的三個正整數，稱為勾股數(或勾股弦數)。
書102-103，畫出定義，做完作業103，第1，3頁。
例1δABC的三條邊是以下幾組值，能構成直角三角形並表示哪個是直角，否則標×。
⑴a=1、b=、c=1
⑵a=1.2、b=1.6、c=2
⑶a:b:c=2: :2
⑷a=n2-1、b=2n、c= n2+1(n>1)
5] a = 2n2+1，b=2n2+2n，c = 2mn (m > n) m和n都是正整數。
解(1)∫12+12 =()2 ∴δabc是壹個以∠B為直角的三角形。
⑵ ∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=(1.2)2
∴δABC是以∠δb為直角的三角形。
(3) (4) (5)解釋。
強調:對於大數，可以用平方差公式實現簡單運算。
例2已知:如圖，AD=3，AB=4，∠BAD=90？，BC=12，CD=13，
求四邊形ABCD的面積。
解析:連接BD，求BD=5。
∵BD2+BC2=CD2 ∴∠CBD=90？
四邊形的∴面積ABCD =δAbd的面積+δBD的面積。
解決方案:省略
例2已知:如圖，ABC中，CD為AB邊上的高度，CD2=AD2？神學士
證明:ABC是直角三角形
解析:證明ABC是直角三角形。
只要證明AC2+BC2=AB2
在rt δ ACD中，∫∠ACD = 90？
∴AC2=AD2+CD2
同理，BC2=CD2+BD2。
∴AC2 + BC2 = AD2+2 CD2+BD2
=(AD+BD)2
∴δabc是壹個直角三角形。
讓學生自己完成證明過程。