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手指計數——長在身體上的電腦

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在文明萌芽之前,人類的祖先在廣袤的原始森林中並沒有“數”的概念,他們知道這棵樹和那棵樹,但沒有它來自哪棵樹的概念,也沒有壹定範圍內有多少棵樹的概念。

當祖先們逐漸意識到數數時,最初也僅限於極少數。他們使用身體的特定部位,比如鼻子代表1,眼睛或耳朵代表2。解放前,中國有壹些民族的文化發展相對緩慢。他們最多只能數到3或10。之後就數不清了,幹脆叫“二人組”。在國外,澳大利亞、巴布亞新幾內亞、巴西的壹些部落都沒有用兩個或兩個以上的數字來定義名字。

人天生不擅長數數,很容易下意識地把3以上的數歸為“很多”。

這就好比,在沒有意識統計的情況下,當壹兩個人說妳好看的時候,妳會記得壹兩個人說妳好看,當第三四個人這麽說的時候,妳的印象壹定是:好多人說我好看!

然而,人類畢竟要處理大量的。除了每天的吃喝拉撒,祖先們逐漸需要面對“抓了多少獵物”“部落有多少人”等簡單的統計問題。他們開始使用身體的各個部位,最後我們的主角——手指出現了。

每個原始部落都有壹套內部通用規則。據統計,僅在巴布亞新幾內亞就發現了至少900種不同的肢體計數方法。其中壹個是這樣的。1~27這個數字是用上半身的27個部位來表示的。在我們看來,這比直接用數字要麻煩得多。

當然,手指和腳趾是最廣泛使用的,也是最古老的。壹個手指/腳趾1,兩只手10,壹個人20。正因如此,歷史上很多民族都使用過十進制。藏語中“人”字有20的意思;在法語中,80是quatre-vingts (4個20元),90是quatre-vingt-dix (4個20元加10)。

與腳趾相比,手指使用起來更方便,更有生命力(至今仍在使用),這是人類默認使用十進制計數的根本原因。

相對簡單的手指計數,通常壹只手表示壹個數字,另壹只手表示十個數字,可以直接表示1~99。

再高級壹點,可以用手指的分割。壹種理論認為,古巴比倫人用壹只手的12指節代表1~12,另壹只手的五指代表1 ~ 12的5倍,從而代表1~60。這與楔形文字記錄數字的六十進制方式相對應。

再高級壹點,手指彎曲和指關節方向形成的各種手勢,都可以用來表示更大的數字。壹個典型的例子是意大利數學家盧卡·帕喬利在1494年編制的壹套手指計數方法。

不得不感嘆人類的智慧。在壹個沒有外部工具的時代,手指可以數到幾百甚至幾百萬。現在我們在生活中經常用手來表示數字,但基本上只從1數到10,再從11數到20,還有壹些簡單的手勢表示6、8等特殊數字。

然而,只用手指表達數字並不罕見。現在聾啞人使用的手語,除了數字,還能表達極其豐富的含義。如果要稱手指為計算工具,至少要實現計算功能。手指確實可以做壹些簡單的計算,加上心算,不僅可以加減,還可以乘除。中國古代就有成熟的“手算”方法。明代數學家程大偉在他的《算術統壹》壹書中詳細記錄了秦晉壹位商人發明的“壹掌黃金”算法[1],計算是用右手指著左手的指關節完成的。

可以說算法在手,全世界我都有。商人出去談生意,就把手藏在袖子裏(那時候算法是商業機密,不能輕易泄露),把金子吞在袖子裏,用手指點算,把賬算清楚。有壹首歌謠說:

“手動計算”雖然方便,但能算出的數值範圍畢竟有限,需要結合復雜的心算公式。現在壹些數學老師熱衷於為孩子開發手指速度算法,確實比純心算更快更可靠。它們可以用來開發智力,但在實際應用中卻被發揮到了極限。正是手指的這種局限性,促使人類擺脫身體部位的束縛,壹步壹步走向更先進的計算工具。